to schlange.12eck :s :fak1
  ; Innen 6 x Dreieck ========
  ; mit zufalls richtung
  make "mo pick [0 60]
  rt :mo
  repeat 3[
    fd :s
  rt 180
  schlange.tri :s :fak1
  lt 60
  schlange.tri :s :fak1
  lt 120 bk :s
    rt 120]
  lt :mo
    ; Nach außen 6 Quadrate========
      repeat 6[
    pu fd :s rt 120 fd :s/2 lt 90 fd :s/2 pd
  schlange.quad3 :s :fak1
    pu bk :s/2 rt 90 bk :s/2 lt 120 bk :s pd ;stop
  ;lt 30 bk :s
    rt 60]
  ; Nach außen 6 Dreiecke========
  repeat 6[
  fd :s lt 30
  schlange.tri :s :fak1
  rt 30 bk :s
    rt 60]
end

to schlange.quad3 :s :fak1
; mit Faktor ===================
; from center ==================
; mit Zufallsrichtung =============
  make "mu pick [0 90]
  rt :mu
  pu bk :s/2 rt 90 bk :s/2 lt 90 pd
  make "fak2 1-:fak1
  ; 1 Quadrat ==============
  filled 6[
  repeat 4 [
      fd :s rt 90  ]]
  ; Ring 1 ==============
  filled 3[
  fd :s*:fak1 bk :s*:fak1
    arc 90 :s*:fak1] ;stop
  filled 6[
  fd :s*:fak2 bk :s*:fak2
    arc 90 :s*:fak2]
    fd :s rt 90 fd :s rt 90
  filled 3[
  fd :s*:fak1 bk :s*:fak1
    arc 90 :s*:fak1]
  filled 6[
    fd :s*:fak2 bk :s*:fak2
    arc 90 :s*:fak2]
  ;back to center================
  pu fd :s/2
  rt 90 fd :s/2 rt 90 pd
  lt :mu
 ; rt pick [0 90]
end

to schlange.tri :s :fak1
; Dreieck mit Schlange======================
; fak1 z.B .6
; wird automatisch zentriert
  make "fak2 1 - :fak1
; Dreieck ===============================
filled 6 [ repeat 3 [ fd :s rt 120 ] ]
; Kreisstück groß ===============================
filled 3 [ fd :s*:fak1 bk :s*:fak1 arc 60 :s*:fak1 ]
; Kreisstück klein ===============================
filled 6 [ fd :s*:fak2 bk :s*:fak2 arc 60 :s*:fak2 ]
end

cs
schlange.12eck 50 .6

1. JSLogo öffnen
2. Einen Programmcode (z.B. den Code links auf dieser Seite) durch copy und paste (kopieren und einfügen) in das Feld links unten einfügen.
3. Das Programm laufen lassen, indem man auf den Knopf "Run" unten in der Mitte drückt
4. Das Ergebnis entsteht im Ergebnisfenster oben links.
5. Das Ergebnis bei Bedarf speichern oder in die Zwischenablage kopieren über EXTRAS - DOWNLOAD DRAWING.

• 3er-Kreuzungen-Dreiecke
• Sackgassen-Dreiecke
• Quadrate mit einer Durchgangsstraße
• Löcher in der Parkettierung

1. Wie lässt sich eine Fläche mit Hilfe des symmetrischen Zehnecks "Edelstein" (s.o.) parkettieren? Überlappend oder nicht-überlappend? (Zum Begriff "überlappend siehe unten bei Kapitel 9) Welche Teile überlappen sich?
2. Eignen sich die "Diamanten" für überlappende oder nicht-überlappende Parkettierung des Musters?
   
   
   
   
3. Wie kommt man am ehesten zu einer elementaren Figur (wie den Diamanten), die sich für eine vollständige, nicht überlappende Parkettierung eignet?
   
   
   • Alle Teilchen identifizieren, die sich unterscheiden nach
     1. Form
     2. Größe
     3. Richtung
   • Eine zusammenhängende Fläche im Muster suchen, in dem jedes dieser Teilchen einmal zu finden ist


Elementar-Teilchen in diesem Parkett:

4. Wie verhält es sich mit einer Sternfigur? Vollständige Parkettierung möglich? (Eventuell hilft Drehen) Überlappend oder nicht?
Vorschlag: Malen Sie Grundfiguren in das Blanko-Parkett in verschiedenen Farben/Mustern hinein!


5. Wie verhält es sich mit einer "Mühle"? Vollständige Parkettierung möglich? (Eventuell hilft Drehen) Überlappend oder nicht?
6. Funktioniert eine vollständige Parkettierung mit "Zapfen"? (Eventuell hilft Drehen) Überlappend oder nicht?



7. Funktioniert eine vollständige Parkettierung mit "Krone"?



8. Funktioniert eine vollständige Parkettierung mit "Moewe"?
Die letzten Lösungen fehlen bei Strick.

9. Wie kommt man zu so einer Figur? Indem man kleinere Figuren überlappend oder nicht zusammensetzt - hier 4 Mal ein "Diamant".
   Aufgabe: Setzen Sie 3 mal 3 "Diamanten" zu einer Großfigur zusammen, die parkettierbar ist !
10. Stellen Sie selbst eine andere wunderschöne Figur zusammen!
11. Wie kann man kontrollieren, ob man keinen Fehler gemacht hat?
    Z.B. indem man mehrere Figuren in einem Malprogramm mit transparentem Hintergrund nebeneinander legt.

• Im Quadrat können die Bänder sich kreuzen.
• Im Dreieck kann es Ausgänge in alle drei Richtungen geben.

1. "Grafik formatieren"
2. "3D-Drehung"
3. "Voreinstellungen"
4. 3 passende Muster auswählen
5. Die 3 Teile zusammenschieben
6. Speichern

• Würfel, auf den man 6 Würfel klebt
• Würfel, auf den man 6 quadratische Pyramiden klebt
• Stange aus Würfeln
• "Ring" aus Würfeln
• Ineinander verschlungene "Ringe" aus Würfeln
• Abgeschnittenes Tetraeder (28 3-Ecke)
• Abgeschrägte Hexaeder (32 3-Ecke, 6 Quadrate)
• Abgestumpfte Kuboktaeder (12 Quadrate, 8 6-Ecke, 6 8-Ecke)
• Abgestumpfte Ikosidodekaeder (30 Quadrate, 20 6-Ecke, 12 10-Ecke)
• Ikosidodekaeder (20 Dreiecke, 12 Fünfecke)
• Kaleidozyklus z.B. aus 6 Tetraedern

1. andere Path Tile Games, also Spiele, in denen n-Ecke mit Bändern eine Rolle spielen und
2. Truchet-Kacheln.

• Englische Wikipedia zu Sebastien Truchet Erster Theoretiker zu Kacheln
• Englische Wikipedia zu Truchet_tiles Quadratische Kacheln in SW
• truchet-tiling Bilder von Truchet-Fliesen bei Pinterest
• Truchet-Effect Lern-Video, wie man mit Truchet-Fliesen parkettiert: Diagonalen, Ringe wie bei Strick, sogar animiert
• Morphing Tiles
• Truchet Tiles Generator
• Zahlreiche Truchet Tiles von Edward Borlenghi
• Googlen Sie nach dem Stichwort "Truchet-Tiles"!
• Googlen Sie nach Bildern zum Stichwort "Truchet-Tiles"! (Schnell findet man Kreisbögen wie bei Strick)

• Überlegen Sie, ob es sinnvoll ist, eine deutsche Wikipedia zu haben (statt einer einzigen englischen oder "internationalen" Wikipedia)!
  
• Wenn sie es für sinnvoll halten, dann übersetzen Sie fremdsprachige Wiki-Seiten zu den Themen "Path Tile Games" und "Truchet Tiles" ins Deutsche und speichern Sie sie in der deutschen Wikipedia (falls die anonymen Oberaufseher der deutschen Wikipedia damit einverstanden sind)!
• Erweitern Sie jene Seiten mit eigenen Beiträgen!

1. Bei einigen Friesen im Buch sieht man nicht (auf den ersten Blick), wo ein Element aufhört und das nächste anfängt.
2. Die im Buch gezeigten Friese sind rel. einfach. Es fehlen kompliziertere Friese.
3. Was fehlt bei den Hinweisen zum Weiterforschen?
4. Abschlüsse von Bandornamenten und Ecken von Ornamenten (wo waagerechte und senkrechte Bandornamente aufeinanderstoßen) werden nicht thematisiert.
5. Wozu kann man Friese gebrauchen oder ist es nur l'art pour l'art?
6. Es fehlt etwas Leichtes, Humorvolles.

• Welche Teile brauche ich?
• Wie stelle ich sie zusammen, und zwar ökonomisch?
• Höhe des Bandes?

• Wo sind die Mittelpunkte der Teil-Keise?
• Wie groß sind genau die Winkel?

• Celtic
• Dutch
• Chinese
• Asian
• African
• Native American
• Medieval
• Islamic
• Roman
• Griechische Ornamente
• etc.

• Griechische Ornamente
• celtic borders design
• islamic patterns geometric

• Bordüren kann man beim Fliesen an Wand und Boden gebrauchen.
• Bordüren gibt es bei Tapeten, Stoffen, Teppichen etc.
• Leser können aus Bordüren Briefpapier, Tischkarten, Passepartouts machen
• Faltgirlanden sind aus Papier geschnittene Bandornamente.

• Experimentieren Sie bei den Typen F4 und F5 unorthodox mit den Abstandslinien!
• Verwandeln Sie die Linien-Friese in Flächenfriese!
• Färben Sie diese Flächenfriese wunderwunderbar ein!

to linsex :r :co1 :co2
  setpc :co1
  filled :co1[
    arc 60 :r]
  setpc :co2
  arc 60 :r
  pu rt 60 fd :r rt -60 fd :r rt 180 pd
  setpc :co1
  filled :co1[arc 60 :r]
  setpc :co2
  arc 60 :r
  pu fd :r rt 60 fd :r rt 180 rt -60 pd
end

to kreis.linsen :r :co1 :co2 :co3
  ; 1.) Gefärbter Kreis
  filled :co3[arc 360 :r]
  ; 2.) 6 Linsen außen
  repeat 6[linsex  :r :co1 :co2
  rt 60]
  ; 3.) 6 Linsen innen
  repeat 6[
  pu fd :r rt 120 pd
  linsex  :r :co1 :co2
    pu rt -120 fd -:r pd
  rt 60]
end

cs
ht
kreis.linsen 100 3 1 6
;linsex 100 3 1

1. JSLogo öffnen
2. Einen Programmcode (z.B. den Code links auf dieser Seite) durch copy und paste (kopieren und einfügen) in das Feld links unten einfügen.
3. Das Programm laufen lassen, indem man auf den Knopf "Run" unten in der Mitte drückt
4. Das Ergebnis entsteht im Ergebnisfenster oben links.
5. Das Ergebnis bei Bedarf speichern oder in die Zwischenablage kopieren.

1. Wo liegen die Mittelpunkte der Außen-Kreise?
2. In welcher Reihenfolge werden die Kreise gezeichnet?
3. Deckend (opak) oder transparent?

1. Sie liegen auf den Ecken der Dreiecke von der flower of life.
2. Erst 3 Außenkreise im Dreieck, dann die 3 Außenkreise dazwischen, dann der Mittel-Kreis.

to egg.of.life :r :co
    repeat 2[
  repeat 3[
      pu fd :r rt 60 fd :r pd
      filled :co[arc 360 :r]
      pu fd -:r rt -60 fd -:r pd
    rt 120]
    rt 60]
  filled :co[arc 360 :r]
  end

cs
setsc 7
st
ppt
egg.of.life 50 7

1. Wo liegen die Mittelpunkte der Außen-Kreise?
2. In welcher Reihenfolge werden die Kreise gezeichnet?
3. Der 6.Kreis kann leider nicht einfach überlappend gezeichnet werden. Was tun?

1. Sie liegen auf dem Rand des Innenkreises.
2. Zuletzt der Innenkreis.
3. Da muss man wohl irgendein Restgebilde mit Kreisbögen konstruieren.

• Heilige Geometrie
• sacred geometry
• géométrie sacrée
• geometría sagrada

to samen :r
  arc 360 :r
rt 30
  repeat 6[
  fd :r
   arc 360 :r
  fd -:r
  rt 60]
end

cs
samen 50

to samen.dl :r :fak
 ; z.B.  samen.dl 50 .1
  make "r1 :r*(1+:fak)
  make "r2 :r*(1-:fak)
  arc 360 :r1
  arc 360 :r2
  repeat 6[
    pu lt 30 fd :r pd
  arc 360 :r1
    arc 360 :r2
    pu fd -:r lt -30 pd
  rt 60]
end

cs
samen.dl 50 .1

• n-Ecke
• Sterne
• Sterne im Kreis
• Konzentrische Kreise
• Dezentrierte Kreise
• Kreisbögen
• Mandalas
• Blumen-Muster
• gestreift
• gedrehte n-Ecke
• Spirale
• n-Eck-Fraktale
• Epizykloide

1. Auf jeder der 3 Seiten befindet sich ein S-förmiger Bogen. Es können aber auch mehrere "S"-Bögen sein.
2. Die Wurfsterne können rechts- oder linksdrehend sein.
3. Der Winkel des Bogens beträgt bei Strick 120°. Es sind jedoch beliebige Winkel möglich. Hauptsache, sie sind bei allen Bögen gleich.
4. Statt Kreisbögen eignen sich ebenso gut eckige S-Formen. (Vgl. Gosper-Kurve)

• ogee drop tile
  (S-Kurven-Tropfen-Kachel)
• fish scale tile
  (Fischschuppen-Kachel)
• scallop tile
  (Muschel-Kachel).

1. Nicht-überlappendes Parkettieren
   
   Dabei wird mit den kleinsten Elementen (Kacheln, Teilen) gearbeitet. Dies wird praktiziert von Fliesen-, Platten-, Mosaiklegern, Intarsien-Schneidern. Es ist zu finden bei Papp- und Holzpuzzlen.



2. Überlappendes Parkettieren
   
   Hier wird mit Elementen gearbeitet, die größer sind als die nachher sichtbaren Einzelteile. Damit hat man es zu tun bei Dachziegeln/Schindeln, bei Tierschuppen (Schuppentiere, Fische, Schmetterlinge, Federn von Vögeln etc.), bei künstlerischen Collagen mit Papier.
   
   Bei der grafischen Programmierung kann man unterscheiden zwischen transparenten, halbtransparenten (eventuell tolle Farbeffekte wg. der Mischung) und intransparenten Überlappungen. Bei nicht-transparenten Überlappungen spielt die Überlappungs-Richtung eine große Rolle.
   
   Programmiertes Parkettieren gehört zum virtuellen Parkettieren, während Handwerker es mit realem, echtem Parkettieren zu tun haben.
   
   Ein Merkmal (Nachteil?) des überlappenden Parkettierens besteht darin, dass ein Teil der Bild-Ränder anders aussieht als der Rest, weil dort die zugrundeliegenden Figuren sichtbar werden. So eignet sich überlappendes Parkettieren nur bei Transparenz, wenn man eine Fläche n-Mal um einen Punkt kreisen lässt, nicht jedoch bei Nicht-Transparenz.

• Texturen
• Mustern
• Bildern

1. Nachdenken, welche Seite einer Kachel mit welchen Seiten einer zweiten Kachel zusammenpasst.
2. Empirisch-praktisches Trial-and-Error-Verfahren mit aus Papier ausgeschnittenen Kacheln

• Man kann n Kreisbögen hintereinandersetzen, also statt 1 oder 2 auch 3, 4 oder mehr.
• Man kann die Kacheln nicht nur auf die von Strick gezeigte, sondern auf verschiedene Weise aneinanderfügen und zum Parkettieren nutzen.

1. Sie kommen aus dem islamischen Kulturraum
2. Die Formen werden mehrmals wiederholt, so dass ein Innenmuster entsteht
3. Auf die Ausgangsquadrate werden Kreisbögen bzw. Dreiecke aufgesetzt
4. Durch das Procedere werden 2 verschiedene Fliesen erzeugt, die sich zusammen zur Parkettierung der Ebene eignen.

1. Quadratische Fliesen werden schachbrettartig parkettiert, also so, dass zwischen den Fliesen nach rechts und unten jeweils eine Fliese Abstand ist.
2. Auf die quadratischen Fliesen werden auf jeder Seite Kreisbögen (oder Dreiecke) aufgesetzt, so dass eine größere Fliese entsteht.
3. Bei der quadratischen Parkettierung entstehen jetzt jeweils "Löcher", (die um die Aufsätze kleiner sind als das Quadrat), deren Form das Komplement der Ausgangsform ist. (In den Abbildungen jeweils in der Mitte von 4 Ausgangsfliesen)
4. Die Ausgangsfliesen und die Komplementfliesen können noch beliebig verziert werden, z.B. durch verkleinerte Wiederholungen der Hauptform.

• Man braucht statt 1 Fliesen-Form jetzt 2 verschiedene Fliesen-Formen.
• Der Umgang mit solchen Fliesen-Formen dürfte im realen Leben nicht gerade einfach sein.
• Für die Aufsätze auf die quadratischen Fliesen steht pro Seite nur eine kleine Fläche von maximal 1/4 des Quadrats zur Verfügung.

• Die Ausgangskachel bringt häufig überraschend interessante Komplemente hervor, an die man bei der Komposition der Ausgangskachel nicht im Traum gedacht hat. Das Verfahren ist also quasi sekundär-kreativ.

• Kreisgröße
• Anzahl Fischblasen
• Rechts- oder linksdrehend

to fischblasen.en.eck :s :eck :dir
; in Farbe ====================
  ; Kreise im Kreis
  ; s = der Radius des Umkreises
  ; r der Radius der (gelben) Kreise. Diese Kreise bilden die Kette.
  ; eck = Anzahl Blasen
  ; dir = Richtung der Blasen (1 oder -1)
  setpc 0
  make "si (sin 360/:eck/2)
  make "r :s*:si/(1+:si)
  make "y :s-2*:r
  make "a (sqrt(((:r+:y))^2)-(:r^2))
  make "x ((:s-:a)^2)/(2*:r+2*(:s-:a))
   ; n Sektoren ============================
  lt 360/:eck/2
  repeat :eck[
    filled remainder (repcount-1) 15 [ fd :s bk :s
      arc 360/:eck :s ]
  rt 360/:eck/1]
  rt 360/:eck/2
  ; Mittelfeld ================================
        filled (list 90 90 90) [
      arc 360 :r/(tan 360/:eck/2)]
   ; Kreisringe ================================
  rt 360/:eck/2*:dir
    repeat :eck[
    pu fd :s bk :r pd
     setpc remainder (repcount-1) 15
        filled remainder (repcount-1) 15 [
      arc 360 :r]
    pu bk :s-:r pd
  rt 360/:eck]
  lt -360/:eck/2
    ; Großer UmKreis ============================
   setpc 0
    arc 360 :s
 end

cs
fischblasen.en.eck 100 10 -1 

• Sein Stern {6/2} hat außen einen Ring, der sich auch auf 26 addiert.

Supermagischer Stern {6/2} mit magischer Außenring-Summe


• Bei seinem Stern {8/2} addieren sich die Ecken der beiden Quadrate jeweils auch auf 34 auf. Im Innenring addieren sich jeweils zwei gegenüberliegende Seiten auf 34 auf. Es ist also ein super-super-magischer Stern.

Supermagischer Stern {8/2} mit diversen magischen Summen

• Übersetzen Sie eine fremdsprachige Wikipedia-Seite und speichern Sie diese für die deutschsprachige Wikipedia.
• Erweitern Sie die deutschsprachige Seite (wenn die Hüter der deutschen Wikipedia so gütig sind, das zuzulassen)!

to duerer.spirale3 :r :seg :turn :mit
  ; Archimedische Spirale nach Albrecht Dürer
  ; r    - Radius
  ; seg  - Anzahl Segmente
  ; turn - Anzahl Windungen
  ; mit  - Einzeichnen der Hilfs-Strahlen ja/nein
  make "prod :seg*:turn
  setpc 0
  arc 360 :r
  ;===========
  ifelse :mit=1[fd :r][pu fd :r pd]
  make "pos1 pos
  pu fd -:r pd
  ;===========
  repeat :prod [
    setpc 0
  rt 360/:seg
    ifelse :mit=1[fd :r*(:prod-repcount)/:prod][pu fd :r*(:prod-repcount)/:prod pd]
     make "pos2 pos
  pu setpos :pos1 pd
  setpc 4
  setpos :pos2
  setpc 0
  make "pos1 :pos2
    pu fd -:r*(:prod-repcount)/:prod pd ]
end

cs
duerer.spirale3 100 60 3 0

• Es ist eine Spirale, die durch eine arithmetische Folge zu Stande kommt: Bei ihrer Konstruktion nehmen die Strahlen um einen konstanten Wert ab oder zu.
• Die einzelnen Rillen sind - wie bei einer Schallplatte - gleich weit voneinander entfernt.
  Man kann auch sagen: Der Radius wächst proportional zum Drehwinkel mit.
  Googlen Sie mal nach einer "Archimedischen Schraube". Man sieht sofort, dass die Windungen gleich weit voneinander entfernt sind.
  In der deutschen Wikipedia kommt durch doppelte Hilfskreise das Merkmal der gleichen Abstände nicht gut zum Ausdruck. Deshalb hier eine bessere Darstellung:
  
  
  Arithmetische Spirale: gleiche Abstände
  
  
• Eine arithmetische Spirale hat einen klaren Endpunkt, den Mittelpunkt (bzw. Anfangspunkt, wenn man in der Mitte anfängt).

• ein doppeltes Band, das eine arithmetische Spirale bildet, oder um
• ein rundes Mäanderband: die Spirale geht nach innen, dreht dort um und spiralt sich wieder nach außen (wie bei Klothoiden).
  Übrigens hat die zweite Teilspirale nur 2.5 Windungen und ist kleiner als die erste; Die Rillen sind genauso weit voneinander entfernt wie bei der ersten Teilspirale.

• Es ist eine Spirale, die durch eine geometrische Folge zu Stande kommt: Bei ihrer Konstruktion nehmen die Strahlen um den gleichen Faktor ab oder zu.
• Die Entfernung der einzelnen Rillen voneinander wächst oder nimmt ab.
• Eine geometrische Spirale nähert sich einem Endwert an (den sie nie erreicht).

to geometrische.spirale :r :seg :turn :reli :co :mit :fak
  ; Geometrische Spirale
  ; r - Radius
  ; seg - Anzahl Segmente
  ; turn - Anzahl Windungen (auch krumme Zahlen wie 2.75)
  ; reli - rechts-/linksdrehend (1/-1)
  ; co - Stift-Farbe (0= black, 4=red, 1=blue etc.)
  ; mit - Einzeichnen der Hilfs-Strahlen ja/nein  (1/0)
  ; fak - geometrischsr Faktor, z.b. 0.98 oder 1.008
  ; Penwidth wählen über setpw x (1 = default)
  ; Startwinkel wählen über seth x (dafault 0 nach Norden, 90 Grad im Uhrzeigersinn)
  ; keine Größenstandardisierung
  make "prod :seg*:turn
  setpc 0
  if :mit=1[arc 360 :r]
  ;===========
  ifelse :mit=1[fd :r][pu fd :r pd]
  make "pos1 pos
  pu fd -:r pd
  ;===========
  repeat :prod [
    setpc 0
  rt :reli*360/:seg
    ifelse :mit=1[fd :r*:fak^repcount][pu fd :r*:fak^repcount pd]
   ;  ifelse :mit=1[fd :r*(:prod-repcount)/:prod][pu fd :r*(:prod-repcount)/:prod pd]
   ; fd :r*(:prod-repcount)/:prod
  make "pos2 pos
  pu setpos :pos1 pd
  setpc :co
  setpos :pos2
  setpc 0
  make "pos1 :pos2
    pu fd -:r*:fak^repcount pd ]
   ;pu fd -:r*(:prod-repcount)/:prod pd ]
end

cs
window
setpw 1
seth 90
geometrische.spirale 100 36 3 1 4 0 .98

1. Man könnte noch die Aufgabe vorschlagen, den multiplikativen die entsprechenden additiven Spiralen gegenüberzustellen.
2. Man könnte noch darauf hinweisen, dass neben den Strich-Spiralen auch flächige Spiralen entstehen.
3. Dies könnte man verdeutlichen, indem man die Flächen pro Windung unterschiedlich einfärbt. (Dies gilt ebenso für die Kreisspiralen darüber.)

1. In ein n-Eck kann man n solcher Spiralen einzeichnen, die sich nirgends touchieren. (Stimmt Letzteres?)
2. Die entstehenden Spiralen werden umso runder, je kürzer die Geraden sind, d.h. je mehr Ecken das Vieleck hat. Wenn man also an Stelle von 8-Ecken z.B. 18-Ecken nimmt, kann man mit bloßem Augen gar nicht mehr erkennen, dass es sich nicht um Kreise (und nicht um runde Spiralen) handelt.
3. Man kann statt der Strich-Spiralen auch flächige Quasi-Spiralen einzeichnen. Malen Sie doch mal im Buch die Dreiecke links neben der Strich-Spirale bunt an! (Man kann auch das ganze Viel-Eck mit bunten Flächen-Spiralen ausmalen.)
4. Man kann auch Spiralen erzeugen, wenn man in ein n-Eck einen In-Kreis einzeichnet, in den man ein (n-1)-Eck einbaut usw. (Man kann die Reihenfolge auch umkehren.).
   Auch diese Strich-Spiralen können flächig erweitert werden: Malen Sie doch mal Flächen neben der Spirale bunt an!

1. Als Käufer des dritten Buches könnte man etwas verschnupft sein, wenn man zu diesem Thema exakt die gleichen 6 Abbildungen geboten bekommt wie im ersten Buch (S. 118 u. 120). Stattdessen hätte man z.B. die Gebilde wunderschön einfärben können oder ein Achteck präsentieren können oder zeigen können, dass man auch in der Mitte etwas frei lassen kann wie bei einer Blende.
2. Auch hier gilt, dass man es erstens mit Strich-Spiralen zu tun hat, aber zweitens auch mit Flächenspiralen, die im Gegensatz zu den Gebilden auf der Seite davor wunderbar rund sein können.
3. Pursuit curves sind Klassiker (Googeln!). Nicht so klassisch ist dagegen folgende Idee: Trennen wir uns mal von dem Dogma, das zweite gedrehte kleinere Vieleck müsse auf der Außenseite des ersten Vielecks anfangen. Nehmen wir stattdessen die folgende Regel:
   
   Gehen Sie aus von einem Vieleck. Dann zeichnen Sie um den Mittelpunkt des Vielecks ein gleiches, um x kleineres Vieleck und drehen es um den Winkel w. Diese Prozedur wird wiederholt.
4. Ein weiteres Dogma könnte man aufbrechen, indem man fordert, dass die Folge-Vielecke nicht durch eine Konstante verkleinert werden, sondern multiplikativ oder aufgrund einer noch anderen Regel.
5. Außerdem würde ich Leser dazu anmieren zu testen, ob es auch mit Nicht-n-Ecken funktioniert, z.B. Rechtecken oder gleichschenkligen Dreiecken. Hauptsache, die Gebilde haben Ecken und Kanten?
6. (Nicht ganz so spektakuläre ) multiple Spiralen wie bei den pursuit curves kann man einfacher herstellen, indem man einfache Spiralen n mal um 360/n Grad dreht.

• wenn man ein Quadrat in drei gleiche Streifen aufteilt, den mittleren Streifen in drei Quadrate aufteilt und diese Prozedur im mittleren kleinen Quadrat fortsetzt (S. 145),
• wenn man den Rand eines Quadrates mit regelmäßigen Rechtecken pflastert und dieses im Inneren mit kleineren Rechtecken fortsetzt (S. 149),
• wenn man ein regelmäßiges 5-Eck in kleiner werdende Trapeze aufteilt. (S. 151 unten)

1. Die Bilder der Klothoiden erinnern an Pixelgrafiken aus der Steinzeit der Datenverarbeitung; die Klothoiden wirken eckig.
2. Die Erklärung des Drehmechanismus bei Klothoiden ist nicht anschaulich genug für Dummies.
3. Es wird nicht gesagt, wie man konkret die Grafiken erzeugen kann: Etwa mit Geo-Dreieck und Filzstift?
4. Es werden Klothoiden mit 2, 3, 4, 5, 6, 8 und 10 Zentren gezeigt und ihre Entstehung angedeutet. Dabei wird u.a. Folgendes nicht beantwortet:
   • Kann man Klothoiden mit beliebig vielen Zentren erzeugen und wenn ja, wie?
   • Gibt es jeweils nur 1 Variante mit einer best. Anzahl Pole oder mehrere verschiedene und wenn ja, worin unterscheiden sie sich?
   • Wie viele Varianten gibt es pro einer best. Anzahl Polen?
   • Müssen die "Tornados" zwangsläufig linksdrehend sein?
5. Bei den gezeigten Klothoiden mit 3, 4, 6 und 8 "Wollknäueln" sind jeweils die direkten Nachbarn miteinander verbunden. Bei denen mit 5 und 10 Wollknäueln ist das nicht der Fall; dort geben sich quasi jeweils die übernächsten Nachbarn die Hand. Was hat es damit auf sich?

1. Im Netz habe ich nicht gefunden, wie man eckige Klothoide glätten kann.
   Die Lösung liegt darin, dass man den jeweiligen Winkel über einen Faktor verkleinert und gleichzeitig die Anzahl der Wiederholungen vergrößert. (Dazu genaueres bei den folgenden Punkten)
2. Den Drehmechanismus bei Klothoiden kann man folgendermaßen anschaulich nachvollziehen:
   Einfache Klothoide, bei der die Änderung der Richtung nach jedem Schritt vorwärts 90°, 180°, 270°, 360° beträgt.
   Man nehme ein Geo-Dreieck und Bleistift. Man zeichnet jeweils Linien von z.B. 5 cm. Die erste Linie wird senkrecht abgetragen. An deren Ende dreht man das Geo-Dreieck um 90 Grad und zeichnet wieder eine Linie von 5 cm. Dann hat man einen Haken nach rechts gezeichnet. Am Ende dreht man das Geo-Dreieck um 180° mit Linie, dann wieder um 90° mehr, also 270° usw. Die Drehung um 180° bewirkt, dass man auf derselben Strecke wieder zurückzeichnet, bis man zurück an den Ausgangspunkt gelangt. Die Drehung um 360° hat den gleichen Effekt wie eine Drehung um 0°, also überhaupt keine Drehung. Die Drehung um 450° hat den gleichen Effekt wie eine Drehung um 90°. 540° entspricht 540°-360°=180°. Nach 8 Schritten hat man einen eckigen Haken gezeichnet und ist wieder am Ausgangspunkt angelangt. Dies ist die simpelste Klothoide; sie ist symmetrisch, hat zwei (hier nur angedeutete) Pole.
   Besser deuten sich die beiden Eindrehungen an, wenn man Haken mit 3 Linien zu jeder Seite und Winkeln zeichnet, die sich jeweils um 60° erhöhen. Noch deutlicher wird es bei Klothoiden mit 4 Linien zu jeder Seite und Winkel-Inkrementen (Erhöhung, Zuwachs) von 45°. Wenn man die Winkel verkleinert und die Anzahl Linien erhöht, kommen "richtige" Klothoide dabei heraus. Diese sind zunächst noch eckig, werden aber mit abnehmenden Winkel immer glatter und feiner. Jetzt sollte die Entstehung von zweipoligen Klothoiden anschaulich genug erklärt worden sein.
   
   Wie funktioniert aber der Dreh-Mechanismus bei Klothoiden mit mehr als 2 Zentren? Suchen wir uns dafür eine besonders elementare Klothoide mit wenigen Linien. Nehmen wir einen Inkrement-Winkel von 180 Grad. Wir addieren jedoch jeweils noch eine Konstante von 45°. Die Winkel entwickeln sich also folgendermaßen: 45+180=225 / 45+2*180=405, netto 45 / 45+3*180=netto 225 / 45+4*180=netto 45 usw.
   Die entscheidenden Unterschiede zu der zweiköpfigen Klothoide: Man kommt nach 8 Winkelzügen wieder an den Ausgangspunkt zurück, hat aber 4 Spitzen durchlaufen. Die 4 Ecken entwickeln sich erst bei kleineren Winkeln zu regelrechten Tornados.
   Das wird schon deutlicher, wenn man als Konstante 30 und Inkrement-Winkel 120 nimmt. Dann braucht man 4x3=12 Linien, um wieder an den Ausgangspunkt zu kommen; die Tornados sind schon durch einen Haken angedeutet. Ganz deutlich wird das bei einer Konstante 15 und Inkrement-Winkel 60 und 4x6 Linien.
   Allmählich wird es allerdings Sklavenarbeit, diese vielen Strecken und Winkel mit Bleistift und Geodreieck nachzuvollziehen. Diese Sklavenarbeit sollte man schon einem Programm mit vielen Schleifen überlassen.
   Ähnlich funktionieren die anderen Klothoide auch: Die Strecke dreht sich zum Zentrum, dreht sich wieder aus dem Zentrum heraus, aber in einem anderen Winkel. Mehrere solcher Tornados mit Eingangs- und Ausgangslinie werden zu einer kompletten Klothoide zusammengesetzt.
3. Bei Strick wird nicht gesagt, wie man konkret die Grafiken erzeugen kann: Etwa mit Geo-Dreieck und Filzstift?
   Geodreieck und Stift mögen genügen für supereinfache, rudimentäre Klothoiden-Ansätze. Sobald jedoch zu viele Linien gezeichnet werden müssen und die Winkel zu fein werden, kann diese Aufgabe nur noch von einem Programm erledigt werden.
   Dafür bietet sich ein LOGO-Programm an. Welchen LOGO-Dialekt man wählt, ist wohl eher Geschmackssache. Ich habe JSLOGO ausgewählt, weil man dafür nichts zu installieren braucht, keine Kosten entstehen, keine Anmeldung vonnöten ist etc.
   Ein einfaches LOGO Programme für Klothoide findet man auf der Klothoiden-Seite der englischen WIKIPEDIA:
   

   rt 90
   repeat 720 [ fd 10 lt repcount ]

   Bestechend daran ist, dass man mit extrem wenig Code ein beeindruckendes Ergebnis erzeugen kann. Nachteile sind, dass man nicht erfährt, wie man die Variablen verändern muss, um andere Ergebnisse zu erhalten, dass für besondere Klothoide ein so simples Programm nicht ausreichend ist.
   Ein leistungsfähigeres Programm findet man, das als Ergebnis eines Wettbewerbs entstanden ist, dessen Ziel darin bestand, mit möglichst wenig Programmiercode spektakuläre Bilder zu erzeugen: Klothoiden-Programm von Paolo Passaro

   to roses :l :n :k
   local "x
   make "x (2 * :k - :n) / (2 * :n)
   repeat 360 * :n [fd :l rt repcount + :x]
   end
   
   ; :l is the step size
   ; :n is the number of "roses"
   ; :k is the order
   
   cs
   roses 4 5 3
   

   Dieses Programm hat 3 Variablen in Form von Parametern. Man findet schnell heraus, dass Ordnung ("order") besagt, mit der wie vielten Nachbarrose eine Rose jeweils verbunden ist: Bei Order 1 sind die direkten Nachbarn jeweils miteinander verbunden; bei Order 2 jede zweite Rose etc. Das Programm ist ein riesiger Fortschritt im Vergleich zum Wikipedia-Programm: Man kann damit verschiedenste Klothoiden erzeugen. Passaros Programm beantwortet einige der oben gestellten Fragen:
   • Kann man Klothoiden mit beliebig vielen Zentren erzeugen? Ja. Wie? Mit diesem Programm.
   • Gibt es jeweils nur 1 Variante mit einer best. Anzahl Pole oder mehrere verschiedene? Es gibt je nach Ordnung unterschiedliche. Worin unterscheiden sie sich? Die Tornados sind unterschiedlich miteinander verbunden.
   • Wie viele Varianten gibt es pro einer best. Anzahl Polen? Bei 5 Polen gibt es 2 Varianten: 1 und 2.Ordnung. Die Lösung 3. Ordnung ist identisch mit der Lösung 2. Ordnung. Die Lösung 4. Ordnung ist identisch mit der Lösung 1. Ordnung;
   Aber es hat noch eine Reihe von Schwächen.
   1. Es funktioniert z.B. nicht, wenn man eine Klothoide mit 4 Tornados der 2. Ordnung erzeugen möchte oder 9 Tornados der 3. Ordnung.
   2. Das Programm beantwortet nicht, wie man die Eckigkeit der Klothoiden manipulieren kann.
   3. Es wird nicht gesagt, wie man rechtsdrehende und linksdrehende Klothoiden erzeugt.
   4. Luxus-Features wie Farbwahl, Farbige Füllung, Linienbreite, Ausgangswinkel fehlen.
      Farbwahl: Über den Programm-Befehl schreiben: Setpc 4 [0=schwarz, 1=blue, 2=green, 3=cyan, 4=red, 5=magenta, 6=yellow, 7=white, 8=brown, 9=tan, 10=green, 11=aqua, 12=salmon, 13=purple, 14=orange, 15=gray]
      Farbige Füllung: Über den Programm-Befehl schreiben: filled 4 [ (eckige Klammer auf) und unter den Programm-Befehl: ] (eckige Klammer zu)
      Linienbreite: setpw 1 [1=Standard, .5 ist dünner etc.]
      Ausgangswinkel: Über den Programm-Befehl schreiben: right 30 (oder anderen Winkel) oder left 10 (oder anderen Winkel)
4. Es werden Klothoiden mit 2, 3, 4, 5, 6, 8 und 10 Zentren gezeigt und ihre Entstehung angedeutet. Dabei wird u.a. Folgendes nicht beantwortet: Kann man Klothoiden mit beliebig vielen Zentren erzeugen und wenn ja, wie?
5. Bei den gezeigten Klothoiden mit 3, 4, 6 und 8 Wollknäueln sind jeweils die direkten Nachbarn miteinander verbunden. Bei denen mit 5 und 10 Wollknäueln ist das nicht der Fall; dort geben sich quasi jeweils die übernächsten Nachbarn die Hand. Was hat es damit auf sich?

1. Man kann Klothoiden - wie bei einer Babuschka-Puppe - ineinander stapeln. Voraussetzung für eine exakte Lösung wäre allerdings die Bestimmung des Mittelpunktes (siehe nächster Abschnitt).
2. Man kann nach Klothoiden suchen, die keine Rundgebilde erzeugen.
3. Man kann Teile von Klothoiden zusammenstellen.
4. Haben Sie weitere tolle Ideen und Realisierungen?

1. Wie lässt sich der Mittelpunkt einer Klothoide bestimmen?
   Wie lassen sich die n Anfangspunkte einer Klothoide bestimmen?
   Idee: Das Programm kann nach (Anzahl Schritte)/(Anzahl Zentren) abgebrochen werden, dann lassen sich die Anfangspunkte sowie die Strecken dazwischen bestimmen.
   Wie lassen sich die Zentren der Tornados bestimmen?
   Ohne die Beantwortung der Mittelpunktsfrage sind wohl keine Klothoiden exakt konstruierbar, bei denen die Anzahl Tornados durch die Ordnung teilbar ist bei Ordnungen größer als 1. Auch Babuschka-Konstruktionen (siehe Teil 3) sind nicht exakt möglich.
   
   Meine "Lösung" ist so abenteuerlich schlecht, dass ich sie lieber nicht veröffentlichen möchte.
   
   
2. Wie lässt sich exakt bestimmen, welche Faktoren zum Glätten der Klothoiden im Programm zulässig sind?
3. Schreiben Sie ein Programm, mit dem man online beliebige Klothoide erstellen kann!
4. Haben Sie weitere Fragen und Antworten?

• Home von Volker Pöhls
• Geometrische Bilder mit JSLOGO
• Denksport
• Diverses
• Lustiges
• Songtexte